Розв'язування задач на побудову за допомогою циркуля і лінійки

Побудова трикутника за трьома сторонами в GeoGebra

Побудова трикутника за двома сторонами і медіаною

Усі побудови за допомогою лінійки та циркулю складаються з повторюваних додаваннь п'яти базових конструкцій, що використовують точки, лінії та кола, що вже були побудовані раніше. Такими є:

• Створення лінії через дві існуючи точки
• Створення кола через одну точку з центром у іншій точці
• Створення точки, що є точкою перетину двох вже існуючих, не пралельних ліній.
• Створення однієї чи двох точок на перетині кола із прямою лінією (якщо вони перетинаються)
• Створення однієї чи двох точок на перетині двох кіл (якщо вони перетинаються).

Наприклад, починаючи лише двома окремими різними точками ми можемо утворити лінію або будь-яке з двох кіл (в свою чергу, використовуючи кожну точку як центр та проходження іншої точки колом). Якщо ми накреслимо обидва кола, дві нові точки будуть утворені на їх перетині. Креслення ліній між двома початковими точками та однією з цих нових точок завершує побудову рівностороннього трикутнику.

Таким чином, у будь-якій геометричній проблемі ми маємо початковий набір символів (точок та ліній), алгоритмів, та деякі вирішення. З цієї точки зору, геометрія єквівалентна до аксіоматичної алгебри, у якії єлементи заміняються на символи. Можливо Гаус уперше зрозумів це, та використав це для доказу неможливості деяких побудов; і лише через значний проміжок часу Гільберт винайшов набір геометричних аксіом.